0.9999… ＝ ？

数学

最近、ちょっと無限というものに関して数学的な議論・解説をする機会があって、その中で出てきた話を1つ紹介。

0.9999… ＝ 1 でないとすると

無限というか、極限というものに関して、「0.9999… は 1 になるのか否か」という疑問を持つ方が結構いらっしゃるようです。
この疑問に対する答えなんですが、ぶっちゃけ、0.9999… ＝ 1 となるような数学体系も、0.9999… ≠ 1 となるような体系も、どちらも作れます。で、現在、主流になっている体系では 0.9999… ＝ 1 です。

そうすると、次に来る疑問は、「0.9999… ＝ 1 となるような体系を選んでよかったのか」ですかね。
なんで 0.9999… ＝ 1 の方を選んだのかというと、そうしないと微分・積分が厳密に議論できないから。「0.9999… ≠ 1 の方にしてもいいけど、それだと微分・積分ができないよ」と言われて、それでもなお、あなたはこちらを選びますか？
まあ、「微分・積分が苦手だから 0.9999… ≠ 1 を選びます。そうすれば微分・積分を勉強しなくていいの？」って人もいるかもしれませんけど。

実無限と可能無限

昔の人は、無限というものに関して、以下の2つの概念を考えて、どちらが正しのか悩んでいました。

  • 実無限： すべての数よりも大きな数が存在する
  • 可能無限： どんなに大きな数にも、さらに大きな数が存在する

この2つは相反していて、同時に満たすような体系はなさそうに見えますが、現代数学では以下のような体系にを採用しています。

  • 可能無限： どんな大きな数にも、さらに大きな数が存在する
  • 実無限： すべての数よりも大きな“もの”が存在する、ただしそれはもはや数ではない
  • ↑のような、“数ならざる数”を濃度と呼ぶ
    • 濃度は1つではない
    • 濃度にも大小が考えられる
    • どんな大きな濃度にも、さらに大きな濃度が存在する

まあ、数と数以外の集合を同列に扱える体系があるからこそこういうマネができるんですが。実無限だとか可能無限だとかで悩んでた時代には、こういう体系が整備されていませんでしたから。

でも、現在の体系では、実無限に相当する概念（濃度）が、再び可能無限的なもの（上限がない）になっちゃっているという。

結局、無限というものは実無限であるべきだとか、可能無限であるべきだとか、そういう議論は哲学でしかないんですよね。どっちがいいかは数学的には証明できない。ただ、実用的な方を選ぶべきだと。しかも、実用性を選んだら、どちらとも付かない結論に至ったり。

「無限に大小をつけて何かいいことがあるの？」と思うかもしれませんが、これも結局、実数のような連続な量（数学的には完備っていうんですが）を作るためには、無限集合に大小を付けざるを得なかったんですよね。さらに言うと、実数が完備でないと駄目というのは、結局、微分・積分を厳密に議論するためで、実は 0.9999… ＝ 1 と同源の問題。